1 引言

非線性系統(tǒng)在現(xiàn)實世界中普遍存在，可以說絕大多數(shù)系統(tǒng)是非線性的，例如衛(wèi)星的定位與姿態(tài)控制系統(tǒng)、機器人控制系統(tǒng)、精密數(shù)控機床控制系統(tǒng)等等，這些都不可能采用線性模型，因此研究非線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題有重要的理論及應用價值。因為對非線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制，根據極大值原理會導致求解一個非線性的兩點邊界問題。一般來說，該類問題的解析解往往是不存在的，所以目前對該課題的研究主要集中在其近似解的求解方面，比如Galerkin逐次逼近法，求解非線性HJB方程的級數(shù)展開法，求解狀態(tài)依賴的Riccati方程（Stata-DependentRiccatiEquation,SDRE）迭代解法，準線性化方法、梯度法等迭代方法，基于向量微分方程迭代的逐次逼近方法等等。近年來隨著以微分幾何為工具的精確線性化方法的發(fā)展，對部分非線性系統(tǒng)可以通過適當?shù)姆蔷€性狀態(tài)變換和反饋變換，實現(xiàn)非線性系統(tǒng)的偽線性化，從而應用成熟的線性系統(tǒng)理論和方法。

本文針對非線性單連接機器人系統(tǒng)給出一種設計精確反饋線性化最優(yōu)控制器的方法。首先，給出非線性單連接機器人的系統(tǒng)模型，并對最優(yōu)控制問題進行描述；其次，通過微分同胚坐標變換，將非線性單連接機器人系統(tǒng)模型轉變?yōu)閭尉€性系統(tǒng)模型；再次，在此基礎上給出了在關系度r等于系統(tǒng)階數(shù)n的情況下基于二次型性能指標的最優(yōu)控制器的設計方法；最后，通過求解Riccati方程得到系統(tǒng)最優(yōu)控制率。

2 問題描述

考慮如下非線性系統(tǒng)的動態(tài)方程：

2.1 相關的微分幾何概念

為了完整的說明狀態(tài)反饋精確線性化的設計原理，首先給出在推導中使用的一些相關的微分幾何概念，包括關系度r和Lie導數(shù)的概念。

定理1考慮由系統(tǒng)（2）描述的線性系統(tǒng)關于性能指標（14）的LQR最優(yōu)控制問題。假設系統(tǒng)完全可觀、可控，則系統(tǒng)的LQR最優(yōu)控制率唯一存在。其表示形式為：

結合式（13）得到系統(tǒng)的最優(yōu)控制率：

3 控制系統(tǒng)在單連接機器人上的應用

單連接機器人的模型可以表示為：

圖1 仿真曲線

4 結論

本文針對非線性系統(tǒng)，研究了基于狀態(tài)反饋精確線性化最優(yōu)控制器的設計問題，給出了關系度r等于系統(tǒng)階數(shù)n時的非線性系統(tǒng)精確最優(yōu)控制器的設計方法，最后通過對單連接機器人非線性模型設計基于狀態(tài)反饋精確線性化的最優(yōu)控制器，仿真結果表明，本文設計的控制器效果非常好且易于實現(xiàn)。